PHYSIQUE

Systèmes oscillants

Définir et mesurer ou calculer une période, une fréquence, une amplitude.

Lors d'un phénomène périodique, la durée d'un cycle est appelée période T. La fréquence N (Hz) est le nombre de cycles par unité de temps: N = 1/T.

L'amplitude est la valeur maximale du paramètre oscillant.

Savoir qu'un oscillateur mécanique ou électrique non amorti évolue à énergie constante.

non amorti en mécanique Þ sans frottement Em = Ec + Ep = constante

en électricité Þ sans résistance Eélec = constante

Savoir qu'un oscillateur mécanique ou électrique amorti dissipe de l'énergie vers le milieu extérieur.

Lors d'oscillations libres avec amortissement (frottement ou résistance), l'amplitude décroît. L'énergie du système décroît. Le système cède de l'énergie au milieu extérieur.

En mécanique Þ E_dissipée = W_{(frottements)};  P_dissipée =dW_{(frottements)}/dt

En électricité Þ P_dissipée = Ri²

Savoir que tout système d'entretien des oscillations fournit l'énergie dissipée par l'oscillateur.

Pour que l'amplitude des oscillations reste constante, il faut fournir de l'énergie au système pour compenser l'amortissement. Un système oscillant entretenu garde sa période propre.

Donner l'expression de l'énergie potentielle élastique

Ep = ½ k.x² (x = allongement du ressort)

Savoir qu'un oscillateur mécanique non amorti évolue à énergie mécanique constante, au cours des oscillations, il y a transformation continuelle d'Ec en Ep et inversement.

Si Em = constante; DEm = 0

Or Em = Ec + Ep donc DEm = DEc + DEp = 0

DEc = -DEp

Toute variation d'énergie potentielle est convertie en variation d'énergie cinétique et inversement.

Savoir utiliser un oscilloscope pour visualiser une tension aux bornes d'un dipôle, une intensité.

Pour visualiser u_AB à l'oscilloscope brancher la voie Y en dérivation sur A et la masse sur B. Pour visualiser une intensité, visualiser la tension aux bornes d'un conducteur ohmique: u_AB = Ri_(AversB), ce qui permet de déduire i_(AversB) en divisant u_AB par R.

 (attention au signe quand on visualise u_BA)

Expliquer le comportement d'un condensateur.

Un condensateur est constitué de 2 lames conductrices (armatures) séparées par un isolant (diélectrique).

A la charge sous une tension continue U: Un courant passe pendant un bref instant dans le circuit. La tension u_AB aux bornes du condensateur passe de 0 à U. A la fin de la charge les armatures A et B portent des charges opposées: Q_A = Q; Q_B = - Q (en Coulomb).

Le condensateur se décharge si on le met en court circuit :

Un courant passe pendant un bref instant (dans l'autre sens). La tension u_AB à ses bornes passe de U à 0V. A la fin de la décharge: Q_A = Q_B = 0 C.

Savoir que le temps de charge et de décharge d'un dipôle RC soumis à un échelon de tension augmente avec RC.

Un échelon de tension est une tension qui passe brutalement de 0 à U:

Un condensateur soumis à un échelon de tension se charge lentement. La durée de la charge augmente avec t = RC. On considère que le condensateur est complètement (à 99%) chargé au bout de t = 5t (à partir du début de la charge).

Quand la tension imposée passe de U à 0, le condensateur se décharge. La durée de la décharge augmente aussi avec t = RC. On considère que le condensateur est complètement (à 99%) déchargé au bout de t = 5t (à partir du début de la décharge).

t est  la durée au bout de laquelle la tension aux bornes du condensateur u_AB = 63% U (à la charge). C'est aussi  la durée au bout de laquelle la tension aux bornes du condensateur u_AB = 37% U (à la décharge).

Détermination graphique de t:

à la charge: t à 63%(U_max) ou intersection de U=U_max avec la tangente à l'origine.

à la décharge: t à 37%(U_max) ou intersection de U=U_max avec la tangente à l'origine.

Savoir que le produit RC a la dimension d'un temps.

t = RC est homogène à un temps:

R en V/A; C en charge/V donc RC en charge/A en temps car A = charge/temps

Savoir qu'un condensateur chargé sous une tension U est un récepteur qui stocke l'énergie 1/2CU²

Un condensateur ayant emmagasiné la charge Q (+Q sur l'armature + et -Q sur l'armature -) et ayant donc à ses bornes une tension U stocke l'énergie:

Ec = ½ CU²  = ½ Q²/C = ½ QU

Connaître les relations algébriques reliant les grandeurs intensité, tension aux bornes et charge d'une armature.

A chaque instant :

• u_c = q/C                         
• i = dq/dt = Cdu_c/dt

Savoir qu'un circuit indéformable plongé dans un champ magnétique variable est le siège d'une f.e.m

Lorsqu'on déplace une bobine (en circuit fermé)  à proximité d'un aimant ou un aimant à proximité d'une bobine (en circuit fermé), des courants de courte durée (courants induits) apparaissent dans la bobine. Le courant induit s'annule quand le déplacement relatif cesse. Il n'apparaît que lors du déplacement relatif. Son sens dépend du sens du déplacement et son intensité de la vitesse de déplacement.

Connaître la loi de Lenz.

Par ses effets, le courant induit tend à s'opposer aux causes qui lui ont donné naissance. Le champ induit ne s'oppose pas au champ inducteur mais à sa variation.

Savoir qu'une bobine s'oppose aux variations de courant du circuit où elle se trouve.

Le phénomène d'auto-induction est le phénomène d'induction lié à la variation du champ magnétique propre d'une bobine. Une fem d'auto-induction prend naissance dans un circuit parcouru par un courant d'intensité variable.

La loi de Lenz-Faraday donne l'expression de la fem d'auto-induction: e = - L.di/dt

i

Connaître la relation algébrique reliant intensité et tension aux bornes d'une bobine.

Bobine de résistance r et d'inductance L:   u_AB = ri +Ldi/dt

Savoir qu'une bobine joue le rôle d'un récepteur qui stocke l'énergie 1/2Li²

Une bobine d'inductance L parcourue par un courant d'intensité i stocke:

E_L = 1/2Li²

Savoir qu'au cours d'oscillations libres d'un dipôle RLC, il y a échange d'énergie entre la bobine et le condensateur et perte par effet Joule.

Un circuit R, L, C est le siège d'oscillations électriques libres (si le condensateur était initialement chargé). L'amplitude des oscillations s'amortit si R n'est pas nul.

Dans un circuit oscillant non amorti, il y a échange d'énergie entre le condensateur et la bobine. L'énergie électrique totale du circuit reste constante: E = ½ q²/C + ½ L.i²

Dans un circuit oscillant amorti, il y a échange d'énergie entre le condensateur et la bobine. L'énergie électrique totale du circuit diminue par effet Joule.

Connaître l'expression de la période des oscillations libres du dipôle LC.

La période propre des oscillations dépend de L et de C. Comme les grandeurs RC et L/R s'expriment en seconde, leur produit est homogène à un temps au carré.

T₀ est donc proportionnel à racine(LC). On a T₀ = 2p racine(LC). Pour un circuit peu amorti, la pseudo-période est pratiquement égale à la période propre T₀.

Définir les régimes oscillants critique et sous critique.

Régime pseudo périodique (amortissement faible) R < Rc, on observe des oscillations amorties; régime critique R = Rc, le système retourne à l'équilibre lentement et sans dépassement; régime apériodique sous critique R > Rc, le système revient rapidement à l'équilibre.

Réaliser un montage permettant de relever une courbe de résonance.

Savoir qu'un dipôle RLC en régime forcé est traversé par un courant dont la période est imposée par le générateur.

Un dipôle RLC en régime forcé (alimenté par un GBF) est traversé par un courant dont la période est imposée par le générateur

Savoir qu'il y a résonance d'intensité si la période du générateur et égale à la période propre du dipôle.

Lorsque la fréquence du GBF (excitateur) est égale à la fréquence propre du circuit RLC série, l'intensité du courant traversant le circuit passe par un maximum. C'est la résonance d'intensité. La tension aux bornes du dipôle RLC série et l'intensité du courant qui le parcourt sont alors en phase.

Savoir qu'à la résonance d'intensité I=U/R et qu'il y a risque de surtension aux bornes des dipôles.

L'impédance du circuit Z = Ueff/Ieff = R et est minimale.

Les tensions aux bornes des dipôles R, L et C passent par un maximum. Ces surtensions peuvent détériorer les dipôles.

Déterminer sur une courbe de résonance la bande passante à 3 dB.

Savoir que la bande passante est d'autant plus étroite que la résistance est plus faible.

La bande passante à 3 dB est la bande de fréquences : Df = f₂ - f₁

Le facteur de qualité Q = f₀/Df

Si R faible: résonance aiguë

Si R fort: résonance floue

Etablir l'équation différentielle d'un oscillateur (mécanique ou électrique) non amorti et retrouver l'expression de sa période dans le cas sinusoïdal.

I. système mécanique non amorti (pas de frottement) :

� Bilan des forces:  .

Théorème fondamental de la dynamique S

Sur Ox: -kx=mx"

ou ‚ Conservation de l'énergie: Ec+Ep=cte; d(Ep+Ec)/dt=0;

d(½ kx²+½ mv²)/dt=0; kx+mx"=0

II. Système électrique sans résistance (LC) :

� Loi des tensions u_C = - u_L ; q/C = - Ldi/dt = - L d²q/dt² = -Lq" d'où q/C = -Lq"

Ou ‚ Conservation de l'énergie: Ec+E_L=cte; d(Ep+Ec)/dt=0; d(½q²/C+½Li²)/dt=0;

q/C + Lq" = 0

Les équations sont du type: y" + w²y = 0

Les solutions sont du type: y = Acos (wt+f)

La pulsation w =2p/T= Ö(k/m) pour le système mécanique

1/ racine(LC) pour le système électrique

On retrouve son expression en dérivant y et en substituant dans l'équation différentielle.

A et f s'obtiennent par les valeurs de y et y' à l'instant t = 0 (conditions initiales)